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contacter l'auteur envoyer à un ami best-of futurama a quoi ça sert ? probas nombre doré l'intégrale de eljjdx qui ? que ? quoi ? 15 avril 2018 deux (deux ?) minutes pour... l'éléphant de fermi et von neumann dans mon dernier post, je dessinais des courbes avec deux épicycloïdes. mais avec une, c'est mieux. du coup, j'en ai fait une vidéo. script : en 1953, le physicien freeman dyson présente fièrement à enrico fermi ses résultats en électronique quantique. fermi fait la fine bouche, et lui rétorque alors que son modèle comporte bien trop de paramètres inutiles. comme le disait selon lui john von neumann, avec 4 paramètres, je peux faire une bonne approximation d’un éléphant, et avec un cinquième, je peux lui faire bouger la trompe. autrement dit, avec suffisamment de paramètres arbitraires, on peut dessiner n’importe quoi. plus récemment, l’artiste jagarikin a twitté un gif montrant comment avec une centaine de cercles, on peut dessiner la jeune fille à la perle de vermeer. ce n’est pas sans rappeler cette vidéo de santiago ginnobili dessinant les traits de homer simpson. la clé de tous ces dessins, ce sont les approximation par des séries de fourier, et j’espère que vous aimez la trigonométrie et les nombres complexes, parce que ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler. prenons un cercle, puis prenons un point tournoyant sur le périmètre de ce cercle, que je vais appeller point n°1. très bien. maintenant, prenons un deuxième cercle dont le centre est le point tournoyant, et prenons un autrepoint, que j’appellerai sans surprise point n°2, en rotation sur le pourtour de ce deuxième cercle. suivons alors la trajectoire suivie par ce point n°2. cette courbe que l’on découvre alors, avec ses feuilles régulièrement espacée, est ce que l’on appelle une épicycloïde. historiquement, ces courbes sont apparues pour la première fois en astronomie. en effet, si on considère que le premier cercle décrit la rotation du soleil autour de la terre, et que le deuxième décrit la rotation d’une planète autour du soleil, alors les épicycloïdes correspondent aux trajectoires des planètes dans un modèle où la terre serait au centre de l’univers. quand l’astronome de l’antiquité ptolémée étudiait les mouvement des astres depuis son modèle géocentrique, c’est donc en étudiant des épicycloïdes qu’il est parvenu à calculer par exemple la date de certaines éclipses. en choisissant les bons rayons et les bonnes vitesses de rotation, on obtient toute une galerie d’épicycloïdes. on peut obtenir la cardioïde, courbe en forme de cœur, la néphroïde, courbe en forme de rein, ou bien la renonculoïde, courbe en forme, comme son nom l’indique, de renoncule. oui, pour nommer une épicycloïde, on regarde vaguement la forme de la courbe, et on ajoute -oïde à la fin. j’aurais aussi pu évoquer la deltoïde, en forme de la lettre grecque δ, ou bien l’astroïde, en forme d’astre. ne nous arrêtons pas en si bon chemin. et si, autour du point n°2, on faisait orbiter un point supplémentaire, que l’on pourrait appeler point numéro 3. cette trajectoire, suivie par ce point n°3 est… particulièrement esthétique ! officiellement, cette courbe porte toujours le nom d’épicycloïde, mais je préfère parler d’épi-épicycloïde, même si je suis le seul à utiliser cette terminologie. bien sûr, j’ai choisi les rayons et les vitesses de rotation pour que le résultat vaille le coup d’œil. je vous rassure, il est parfaitement possible de trouver des échafaudages de cercles tournoyants qui tracent des épicycloïdes particulièrement laides. dès lors, il n’y a plus de raisons de se restreindre sur le nombre de cercles pour tracer mon épi-épicycloïde. voici donc huit cercles orbitant les uns autour des autres. qu’obtient-on si on suit la trajectoire du point n°8 ? eh bien, c’est une épicycloïde remarquable, puisqu’il s'agit d’une éléphantoïde ! mais comment ce pachyderme a-t-il bien pu se retrouver là ? pour le comprendre, on va devoir mettre en équation toutes ces épicycloïdes, et c’est là que la trigonométrie va rentrer en jeu. forcément, ça va être un peu technique, mais je vais essayer de vous prouver que la trigo, ça peut être cool, même si j’espère que pour vous ça ne sera pas trop douloureux. reprenons un cercle. disons, de centre o et de rayon 10, et un point p1 sur ce cercle. en notant t l’angle formé entre le rayon op1 et l’horizontale, la trigonométrie nous indique que le vecteur op1, et donc le point p1, ont pour abscisse 10 cos(t), et pour ordonnée 10 sin(t). maintenant, on ajoute un nouveau cercle centré sur p1, disons de rayon 4. sur ce cercle, on a un point p2, qui tourne deux fois plus vite que p1. cela signifie que l’angle formé entre le rayon p1p2 et l’horizontale est deux fois plus grand que le premier angle, et vaut donc 2t. le vecteur p1p2 a donc pour coordonnées (4 cos(2t), 4 sin(2t)), si bien que le point p2 a pour abscisse 10 cos(t) + 4 cos(2t) et pour ordonnée 10 sin(t) + 4 sin(2t). bref, on a finalement l’équation paramétrique de l’épicycloïde. en généralisant la construction, on peut voir que l’équation paramétrique de ces cycloïdes pourront s’écrire sous la forme de somme de fonctions cosinus de différentes fréquences pour les abscisses, et d’une somme de sinus de différentes fréquences pour les ordonnées. dans cette équation, les nombres réels a correspondent aux rayons des cercles, et les nombres entiers n sont les vitesses de rotations des cercles. si on connait cette équation, on peut donc retrouver tous les éléments pour construire avec des cercles roulants l’épicycloïde qui nous intéresse. mais le problème qui se pose à nous est plutôt le problème opposé. comment calculer la taille des cercles qui permettent de tracer une épicycloïde que l’on aurait sous le nez ? prenons par exemple cette courbe, une superbe handspinneroïde. comment vais-je pouvoir procéder pour la dessiner façon spirographe ? une première idée, c’est de chercher une équation paramétrique, c’est à dire l’expression de l’abscisse x et de l’ordonnée y en fonction du temps t que met un point à parcourir la courbe. on prend donc un point, ici en violet, qui suit l’épicycloïde, ce qui nous donne, en bleu, l’abscisse en fonction du temps t, et en rouge, l’ordonnée en fonction du temps t. on va s’intéresser seulement à x(t) pour l’instant. puisque mon épicycloïde est une courbe fermée, la fonction x est périodique, d’une période τ=2π. ça tombe bien, on connaît justement toute une tripotée de fonction pas trop compliquées de période τ=2π. il y a les fonctions cosinus et la fonction sinus, et toutes leur variante de période τ/2, τ/3, τ/4, etc. faisons alors l’hypothèse que x(t) peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de toutes les fonctions de période τ que l’on vient de lister, parce que, après tout, pourquoi pas. cela veut dire que, a priori, on pourrait écrire x(t) = a₀ + a₁ cos(t) + a₂ cos(2t) + a₃ cos(3t) … + b₁ sin(t) + b₂ sin(2t) + b₃ sin(3t) + …. je vous passe la théorie qui nous dit que la fonction x est un point dans un espace vectoriel muni d’un produit scalaire où f scalaire g est défini par l’intégrale entre 0 et τ de f(t) g(t) dt, et je passe à la conclusion : si x(t) peut s’écrire sous cette forme que l’on veut, alors les coefficients aₖ et bₖ peuvent être calculés, et ce à l’aide d’intégrales. ces nombres sont ce que l’on appelle les coefficients de fourier réels de la fonction x, du nom de joseph fourier, qui au début du xixe siècle a utilisé cette décomposition pour résoudre une histoire d'équation de propagation de chaleur. en fait, il ne s’est pas contenté d’utiliser cette décomposition pour les équations de la chaleur, mais il a montré qu’elles pouvaient s’appliquer à n’importe quelle fonction. à l’époque, tout ça manquait de rigueur, mais la théorie de fourier venait de naitre, donnant un nouveau champs d’investigation pour des générations de mathématiciens après lui, et je ne parle pas de la floppée d’applications concrètes. bref, faisons les calculs dans le cas de la courbe qui nous

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